고쟁이 수학 상 답지 알아보기는, 고등 수학 문제해결 능력을 검증하는 대회인 고쟁이 수학 상의 정답을 알아보는 것입니다. 이 대회는 수학 실력과 논리적 사고력을 테스트하기 때문에, 정답을 알아내는 과정은 도전적이고 흥미로울 것입니다. 이 블로그에서는 고쟁이 수학 상의 답을 자세하게 분석하고 해설하겠습니다. 아래 글에서 자세하게 알아봅시다!
고쟁이 수학 상 문제 해설
1. 문제 1 해설
문제 1에서는 주어진 복소수의 성질을 이용하여 값을 구하는 문제입니다. 우선 주어진 복소수 z를 오일러 공식을 이용하여 삼각함수의 형태로 변환합니다. 그러면 z = 2(cos π/6 + i sin π/6)가 됩니다. 이때, z^2을 계산하면 (cos π/3 + i sin π/3)가 됩니다. 따라서, 문제에서 요구하는 값을 계산해 보면,
2Re(z^2) – Im(z^2) = 2cos(π/3) – sin(π/3) = √3 – 1
따라서, 값은 √3 – 1입니다.
2. 문제 2 해설
문제 2에서는 로그 함수와 지수 함수의 성질을 이용하여 식을 간단하게 변형하는 문제입니다. 먼저 주어진 식을 로그의 성질에 따라 변형해 보겠습니다. log2(x^2 – 3x + 2) = log2 (|x-1|) + log2 (|x-2|) 가 됩니다.
다음으로, 지수 함수의 성질을 이용하여 식을 더 간단하게 만들어 보겠습니다. x-1 > 0, x-2 > 0 인 조건을 고려하면, |x-1| = x-1, |x-2| = x-2 가 됩니다. 따라서, 주어진 식은 log2 (x-1)(x-2) 가 됩니다.
마지막으로, 로그와 지수 함수의 성질을 이용하여 식을 더욱 간단하게 만들어 보겠습니다. log2 (x-1)(x-2) = log2 (x^2 – 3x + 2) 가 성립하기 때문에, 원래 식과 같은 값을 가지게 됩니다.
따라서, 문제에서 주어진 식의 값은 x^2 – 3x + 2 입니다.
3. 문제 3 해설
문제 3에서는 이차방정식의 근의 관계를 이용하여 값을 구하는 문제입니다. 먼저 주어진 방정식의 근을 구하기 위해 판별식을 계산해 보면, D = b^2 – 4ac = 3^2 – 4(1)(-2) = 25 입니다. 따라서, 판별식의 값이 양수이므로 방정식은 서로 다른 2개의 실근을 가지게 됩니다.
또한, 주어진 식의 계수들을 이용하여 근의 합과 근의 곱을 계산해 보면, 근의 합은 -(-3)/1 = 3, 근의 곱은 -2/1 = -2 입니다.
따라서, 문제에서 요구하는 값을 계산해 보면, 근의 합과 근의 곱의 차이인 3 – (-2) = 5 가 됩니다.
4. 문제 4 해설
문제 4에서는 조건을 만족하는 정수의 개수를 구하는 문제입니다. 우선 주어진 식에서 x의 값이 정수가 되기 위해서는 2x+1이 정수여야 합니다. 따라서, 2x+1 = 2n+1 (n은 정수) 을 만족하는 값들을 찾아보면 됩니다.
신기하게도, 2x+1이 정수가 될 때마다 x와 n은 1씩 증가하는 관계를 가집니다. 따라서, 2x+1 = 2n+1 을 만족하는 n의 개수는 x의 개수와 같습니다.
즉, 문제에서 요구하는 값을 구하기 위해서는 1부터 100까지의 집합의 원소의 개수를 구하면 됩니다. 이는 100의 약수의 개수를 구하는 문제와 같기 때문에, 약수의 개수를 구하는 방법을 이용하면 됩니다.
100은 2 * 2 * 5 * 5 로 소인수분해할 수 있습니다. 따라서, (2+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 3*3*2*2 = 36 개의 약수를 가지게 됩니다.
따라서, 조건을 만족하는 정수의 개수는 총 36개가 됩니다.
고쟁이 수학 상 답지
마치며
고쟁이 수학 상 문제는 주어진 수학적인 지식과 논리적 사고를 바탕으로 해결해야 하는 문제들입니다. 이 문제들을 풀기 위해서는 기본적인 수학적인 지식과 성질을 잘 이해하고 있는 것이 중요합니다. 또한, 문제에서 요구하는 값을 정확히 파악하고 문제를 해결하기 위한 적절한 논리적인 접근을 할 수 있어야 합니다.
고쟁이 수학 상 문제들은 다양한 유형의 문제들을 포함하고 있기 때문에, 문제를 풀기 전에 문제 유형과 관련된 수학적인 지식을 복습하고 연습하는 것이 좋습니다. 또한, 문제를 풀다가 어려움을 겪을 경우에는 문제를 분석하고 단계별로 문제를 해결해 나가는 연습을 통해 문제 해결 능력을 향상시킬 수 있습니다.
고쟁이 수학 상 문제들은 수학적인 지식뿐만 아니라 논리적인 사고와 문제 해결 능력을 요구하기 때문에, 문제를 푸는 과정을 통해 자신의 능력을 발전시킬 수 있는 좋은 기회가 될 수 있습니다. 따라서, 문제를 푸는 과정에서 막히거나 어려운 부분이 있다면 포기하지 말고 끝까지 문제를 해결해 나가는 노력을 기울이는 것이 중요합니다.
추가로 알면 도움되는 정보
1. 복소수의 성질과 오일러 공식은 다양한 수학 문제에서 유용하게 사용될 수 있는 중요한 개념입니다. 따라서, 이를 잘 이해하고 활용할 수 있도록 복습하는 것이 좋습니다.
2. 로그와 지수 함수의 성질은 다양한 수학 문제에서 유용하게 사용될 수 있는 중요한 개념입니다. 따라서, 이를 잘 이해하고 변형할 수 있도록 연습하는 것이 좋습니다.
3. 이차방정식의 근의 관계를 이해하고 활용할 수 있는 능력은 다양한 수학 문제를 해결하는 데에 필수적입니다. 따라서, 이차방정식의 근의 관계와 변형에 대해 복습하고 연습하는 것이 좋습니다.
4. 정수와 약수에 대한 개념과 성질을 잘 이해하고 활용할 수 있는 능력은 다양한 수학 문제를 해결하는 데에 필요한 기초적인 지식입니다. 따라서, 정수와 약수에 대한 개념을 복습하고 연습하는 것이 좋습니다.
5. 문제를 해결하기 위해 주어진 조건과 성질을 적절하게 활용하는 것이 중요합니다. 따라서, 문제를 풀기 전에 조건과 성질을 잘 파악하고 문제 해결에 도움이 될 수 있는 수학적인 지식과 방법들을 찾는 것이 중요합니다.
놓칠 수 있는 내용 정리
1. 복소수의 성질과 오일러 공식을 잊어버리는 경우, 주어진 복소수를 다른 형태로 변형하여 문제를 풀 수 없게 됩니다. 따라서, 복소수의 성질과 오일러 공식을 잘 숙지하고 활용할 수 있도록 연습하는 것이 중요합니다.
2. 로그 함수와 지수 함수의 성질을 잊어버리는 경우, 주어진 식을 단순화하여 문제를 풀 수 없게 됩니다. 따라서, 로그 함수와 지수 함수의 성질을 잘 이해하고 활용할 수 있도록 연습하는 것이 중요합니다.
3. 이차방정식의 근의 관계를 잊어버리는 경우, 문제에서 요구하는 값을 정확하게 계산할 수 없게 됩니다. 따라서, 이차방정식의 근의 관계와 변형에 대해 잘 이해하고 활용할 수 있도록 연습하는 것이 중요합니다.
4. 정수와 약수에 대한 개념과 성질을 잊어버리는 경우, 조건을 만족하는 정수의 개수를 구할 수 없게 됩니다. 따라서, 정수와 약수에 대한 개념과 성질을 복습하고 연습하는 것이 중요합니다.
